1976年2月1日

【數學】棣美佛定理(設複數z滿足方程式z+1/z=2cosθ,求z^n+1/z^n的值,實際上我是用餘弦定裡搞定的)

【來源】http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607082901958
【問題】發問者: ㄚ瑋 ( 初學者 5 級)

設複數z滿足方程式z+1/z=2cosθ,求z^n+1/z^n的值,其中n的正整數。

我只知道先通通 *z

會變成……z^2-(2cosθ)z+1=0
接下來……z=cosθ+isinθ或cosθ-isinθ
但是…為什麼會變成這個呢(指z=cosθ+isinθ或cosθ-isinθ的部分)?

還有接下來該怎麼做
麻煩請各位大大幫幫忙吧!

記得敘述要簡單點……敝人數學能力有待加強!謝謝

【我的回答】

你計算的時候乘以Z 產生了增根的問題(就是說妳會分不清楚是cosθ+ isinθ或 cosθ- isinθ)

棣美佛定理:
所有的複數可表示成 Z = r(cosθ+ isinθ),並且有以下特性,
  Z^n = r^n [cos(nθ)+ isin(nθ)] =[r (cosθ+ isinθ)]^n

回到題目,
  Z = r (cosθ+ isinθ) 可得 1/Z = (1/r)( cosθ- isinθ)
而 Z + 1/Z = (r+ 1/r) cosθ+ (r- 1/r) isinθ= 2cosθ(題目條件)

故 r + 1/r = 2
且 r - 1/r = 0,可求得 r = 1

又 Z^n = (r^n) [cos(nθ)+ isin(nθ)] = cos(nθ)+ isin(nθ)
及 (1/Z)^n = [(1/r)^n] [cos(nθ)- isin(nθ)] = cos(nθ)- isin(nθ)
因為 r = 1

可得 Z^n + (1/Z)^n = 2cos(nθ)

這個算得有點心虛,因為很久沒碰了,如果有錯請大家指正~謝謝

參考資料 自己,但發現一個很棒的定理解釋網頁:
  http://www.atlas-zone.com/complex/fractals/mandelbrot/complex.htm

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