【數學】棣美佛定理（設複數z滿足方程式z＋1/z＝2cosθ，求z^n＋1/z^n的值，實際上我是用餘弦定裡搞定的）

【來源】http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607082901958
【問題】發問者： ㄚ瑋 ( 初學者 5 級)

設複數z滿足方程式z＋1/z＝2cosθ，求z^n＋1/z^n的值，其中n的正整數。

我只知道先通通 *z

會變成……z^2－(2cosθ)z＋1＝0
接下來……z＝cosθ＋isinθ或cosθ－isinθ
但是…為什麼會變成這個呢（指z＝cosθ＋isinθ或cosθ－isinθ的部分）？

還有接下來該怎麼做
麻煩請各位大大幫幫忙吧!

記得敘述要簡單點……敝人數學能力有待加強！謝謝

【我的回答】

你計算的時候乘以Z 產生了增根的問題（就是說妳會分不清楚是cosθ+ isinθ或 cosθ- isinθ）

棣美佛定理：
所有的複數可表示成 Z = r(cosθ+ isinθ)，並且有以下特性，
　　Z^n = r^n [cos(nθ)+ isin(nθ)] =[r (cosθ+ isinθ)]^n

回到題目，
　　Z = r (cosθ+ isinθ) 可得 1/Z = (1/r)( cosθ- isinθ)
而　Z + 1/Z = (r+ 1/r) cosθ+ (r- 1/r) isinθ= 2cosθ(題目條件)

故　r + 1/r = 2
且　r - 1/r = 0，可求得 r = 1

又　Z^n = (r^n) [cos(nθ)+ isin(nθ)] = cos(nθ)+ isin(nθ)
及　(1/Z)^n = [(1/r)^n] [cos(nθ)- isin(nθ)] = cos(nθ)- isin(nθ)
因為 r = 1

可得　Z^n + (1/Z)^n = 2cos(nθ)

這個算得有點心虛，因為很久沒碰了，如果有錯請大家指正～謝謝

參考資料 自己，但發現一個很棒的定理解釋網頁：
　　http://www.atlas-zone.com/complex/fractals/mandelbrot/complex.htm