執著是為了不讓自己後悔: 【化學】 K+和O2-兩離子中心相距1.5nm，試求兩離子間之吸引力

原文網址：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1608032300146
問題：

1. K+和O2-兩離子中心相距1.5nm，試求兩離子間之吸引力
2.兩個鄰近的離子間，其靜位能En可表示成 En= -A/r + B/(r^n)，
試以參數A、B及 n 來計算，求
(a) 離子間的平衡距離
(b) 鍵能
(c) 若在K+Cl- 離子對中，其 A=1.436 B=5.86*10^-6 及 n=9
，請計算二離子間之平衡距離和鍵能

我的回答：

1. 視為兩個點電荷之間純靜電吸引力的計算（不管所謂的離子半徑）

(+) ------------------------- (2-)
| <---- 1.5*10^-9 m ----> |

依據靜電吸引力的公式（或是你可以把第二題的靜電位能對距離 r 做微分得到相同結果），在 SI 制之下：

Fe = Kq(1) q(2) / r^2 ---> 此中 K 為靜電常數 ~ 9*10^9 (Nm^2C^-2)
---> q(1) & q(2) 代表兩個點電荷電量、包含電性即正負電 (庫倫）
---> r 距離，單位為公尺
所以你可以結果帶入 r = 1.5 *10^-9 m
q(1) = + 1 * 1.6*10^-19 C (Coulomb)
q(2) = - 2 * 1.6 * 10^-19 C (Coulomb)
Fe= (9*10^9)*(+1 * 1.6*10^-19)*(-2 * 1.6*10^-19) / (1.5 *10^-9)^2
= 2.048 * 10^-10 N (Newton; 牛頓)

順帶說一點，查詢 Wikipedia，兩離子的離子半徑分別為：
K+1 --> 138 pm (138 * 10^-12 m)
O−2 --> 140 pm (140 * 10^-12 m)

也就是說，通常我們可以視為點電荷、必須滿足兩者相距甚遠、互不重疊在一個帶電球體外感受到的電場（或是說受到的電力）可以視為集中在中心（幾何中心），因為鉀離子與氧離子的離子半徑相加值為：278*10^-12 = 0.278 * 10^9 = 0.278 nm 遠小於題目所給的距離，故可以視為點電荷

2. 靜電位能為 En= -A/r + B/(r^n)

(a)
所謂的平衡距離、也就是兩者經由調控核間距 r 達到靜電位能最低、最穩定的狀況，所以數學上就是求極值（En(r) 對 r 微分為0 時的 r 值、設為 re）

d En / dr = - (-1) A / r^2 + (-n) B / r^(n+1) = 0

兩邊同乘確定非為零的 re^(n+1) 得到：

A*re^(n+1-2) - nB = 0
re^(n+1-2) = nB/A --------> re = (n*B/A)^(1/(n-1))

也就是 nB/A 開 n-1 次跟號

(b)
所謂的鍵能，就是將上述情況（離子在平衡距離）將擁有下述靜電位能的離子對分離到無窮遠處：

將 re = (nB/A)^(1/(n-1)) 帶入原靜電位能公式（En= -A/r + B/(r^n)），再經由可得到（這邊整個就是很不想算、你自己驗算一下我根號內外有沒有算錯吧！）：

En(re) = En(re=(nB/A)^(1/(n-1)) )
=-[((A^n)/(n*B))^(1/(n-1))]+[((A^n)/((n^n)*B))^(1/(n-1))]

也就是說，因為無窮遠處 ( r 帶無限大、兩項均為零）的位能為零，故這樣過程所需要做的功即為鍵能（U' - U = Eb = 0 - En(re) )，Eb = -En(re)，即正負號相反

(c)
更不想算，但是就是把 A、B、n 帶入 (a) 、(b) 的結果，可得到：

re(平衡鍵長/平衡位置）= 0.279012211

單位未知，不過比較上述查到的離子半徑，可知道單位為 nm （奈米、 10^-9 m），而其平衡位能為：

En(re) = -4.57486946430370

故其鍵能為 Eb = -En = 4.57....

這邊能量的單位令人困惑、如果你給我 A 常數的單位我就可以很肯定，不過上網查到參考資料三，為LINUS PAULING（庖林）的論文，結果就是 4.5.. 的單位是"電子伏特"、ev

參考資料：
一、離子半徑： http://en.wikipedia.org/wiki/Ionic_radius
二、靜電常數： http://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb's_law
三、離子對鍵能： http://www.pnas.org/cgi/reprint/18/6/414.pdf

參考資料自己、相關數值驗證取自網路