1976年2月1日

【數學】(高三數學)條件機率的問題

【來源】http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507082703610
【問題】發問者: S 頭 ( 初學者 5 級)
 這是一題高中三年級數學題 請各位高手們幫小弟解答囉!題目如下:
  甲、乙、丙輪流丟2顆骰子,先得點數和不小於10的人獲勝,求甲、乙、丙個別的勝率 。

【我的回答】

這一題的預備知識是無窮級數求和,1 + x^3 + x^6 + x^9 + x^12 + …… (無窮多項) = ?

令   S = 1 + x^3 + x^6 + x^9 + x^12 + …… (無窮多項) ----(1)
則 (x^3)S =   x^3 + x^6 + x^9 + x^12 + …… (無窮多項) ----(2)
(1) - (2) = (1 - x^3)S = 1, 故 S = 1 / ( 1 - x^3)

好,回到題目,先看單次點數和投擲不小於10的機率,每次投擲兩個骰子點數和與點數出現的情況如下:

和為 2: (1, 1)
和為 3: (1, 2) (2,1)
和為 4: (1, 3) (2, 2) (3, 1)
和為 5: (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)
和為 6: (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)
和為 7: (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)
和為 8: (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (6, 2)
和為 9: (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3)
和為10:(4, 6) (5, 5) (6, 4)
和為11:(5, 6) (6, 5)
和為12:(6, 6)

(每種點數的可能情況也是一個美妙的東西)共36種,而點數為不小於(大於等於)10的情況有6種,即1/6 的機率;也可以說點數小於的機率為 5/6

再來看這題條件機率,"先得"點數和不小於10,其實就是先搶先贏!甲的所有可能獲勝情況與其機率為:

令 O 為投擲成功(1/6 的機率點數和不小於10)、X為投擲失敗(5/6的機率)

甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙 ……

XXXO
XXXXXXO
XXXXXXXXXO


換成式數學式子就是甲獲勝的機率為:
P(甲贏)
 = 1/6 + [(5/6)^3] (1/6) + [(5/6)^6] (1/6) + [(5/6)^9] (1/6) + …(無窮項)
 = (1/6) [ 1 + (5/6)^3 + (5/6)^6 + (5/6)^9 + … ]
 = (1/6) [ 1 / ( 1 - x^3)] --- x = (5/6)
 = (1/6) [216/91]
 = 36 / 91

同樣的情況看乙贏的機率:
甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙 ……
XO
XXXXO
XXXXXXXO
XXXXXXXXXXO


P(乙贏)
 = (5/6)(1/6) + (5/6)[(5/6)^3] (1/6) + (5/6)[(5/6)^6] (1/6) + (5/6)[(5/6)^9] (1/6) + …(無窮項)
 = (5/6)(1/6) [ 1 + (5/6)^3 + (5/6)^6 + (5/6)^9 + … ]
 = (5/6)(1/6) [ 1 / ( 1 - x^3)] --- x = (5/6) = (5/6)(1/6) [216/91]
 = (5/6)(36/91)
 = 30 / 91

同樣的情況看丙贏的機率:
甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙 ……
XXO
XXXXXO
XXXXXXXXO
XXXXXXXXXXXO


P(丙贏)
 = [(5/6)^2](1/6) + [(5/6)^2][(5/6)^3] (1/6) + [(5/6)^2][(5/6)^6] (1/6) + [(5/6)^2][(5/6)^9] (1/6) + …(無窮項)
 = [(5/6)^2](1/6) [ 1 + (5/6)^3 + (5/6)^6 + (5/6)^9 + … ]
 = [(5/6)^2](1/6) [ 1 / ( 1 - x^3)] --- x = (5/6)
 = [(5/6)^2](1/6) [216/91]
 = [(5/6)^2](36/91)
 = 25 / 91

驗算:這種比賽一定有一個人贏,所以三人贏的機率和必為1,
P(甲贏)+ P(乙贏)+ P(丙贏)
 = 36 / 91 + 30 / 91 + 25 / 91
 = ( 36 + 30 + 25) / 91
 = 91/ 91
 = 1

也可以這樣算:
P(甲贏)+ P(乙贏)+ P(丙贏)
 = 36 / 91 + (5/6) (36 / 91) + [(5/6)^2](36 / 91)
 = (36/91) [ 1 + 5/6 + 25/36]
 = (36/91) [91/36]
 = 1

所以最後算丙贏的機率可以直接用減的其實這個主要是在於一點很重要,因為甲乙丙三人為輪流投擲骰子,後投的人要獲勝必須前面的人失敗,另外就是如果這次失敗,下次該人還要有機會投擲的話、必須過一輪

參考資料 自己想的

2007-08-27 14:41:09 補充
高三數學家教費挺高的,點數這樣有點少呦!哈!開玩笑的!

參考資料 內心的聲音

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