【數學】排 列 組 合 壹 問（月朦朧 鳥朦朧 燈也朦朧 10個字全取排列的數目）

【來源】http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507082801630
【問題】發問者： 黃 ( 初學者 5 級)
　　　　月朦朧 鳥朦朧 燈也朦朧 10個字 全取排列 排列數為 100800 種

　　　　是怎算的ㄚ 請解釋 最好連小朋友都聽得懂的

【我的回答】


背景知識：n個不同的物體隨意排列的可能數目 = n! (n階乘)

=第一種解法==============================================
回到題目，不要被國字搞混，我把上面的字變成圖型，如下：
　■■■○○○△▽◇☆
　朦朦朦朧朧朧月鳥燈也

如果我們先看10個不同的東西排列數目 = 10!
　▂▄█☉○◎△▽◇☆　－－＞　10!
但是其中有■(設為三個不一樣：▂▄█）和○（設為三個不一樣：☉○◎）實際上是三個相同的無法分辨，所以要無論這兩組內怎樣對調，都不影響結果，但是以上視為十種不同圖形的計算方式已經把這些可能"乘"進去了，必須除掉
　▂▄█ 和 ☉○◎ 的排列數均為 3!
故 答案為 10! / 3! 3! = 100800

=第二種解法==============================================
背景知識：相同物體m個之中選n個的選擇方法數 = C(m,n) = m! / n!(m-n)!

先把其中確定不一樣的四個排列(排好就不管裡面排列狀況，故以Ｘ表示)，有4! 種，然後來插空格(在此以^表示空格)，
　^Ｘ^Ｘ^Ｘ^Ｘ^
-----------------------
先放■，

第一（選三空格，每個空格只能放進一個■），就是五個位子放進三個相同的東西，也就是五格選三格放進去的意思，故有 C(5,3) = 5! / 3! 2!

第二（選兩空格，一空格放■、另一空格放■■），先選兩個空格：C(5,2) = 5! / 3! 2! 種，然後這邊比較特殊的地方就是放進去有2種方式（因為■和■■是不同的東西了）

第三（選一空格，放■■■），就是五選一而已，C(5,1) = 5

綜合以上三種，放■的方法總數有：
　　[5! / 3! 2!] + [(5! / 2! 3!)*2] + [5] = 35種
-----------------------

接著放○，即是八個位子放三個相同的東西，
　^Ｘ^Ｘ^Ｘ^Ｘ^Ｘ^Ｘ^Ｘ^

第一（選三空格，每個空格放進一個○）， 有 C(8,3) = 8! / 3! 5!
第二（選兩空格，一空格放○、另一空格放○○），選空格有C(8,2) = 8! / 2! 6!種方式，放進去有2種方式
第三（選一空格，放○○○），有 C(8,1) = 8種方式

綜合以上三種，放○的方法總數有：
　　[8! / 3! 5!] + [(8! / 2! 6!)*2] + [8] = 120 種
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綜合上述所有方式，排列總數 = (4! ) ( 35) (120) = 100800 種
參考資料 自己

* 2007-08-28 04:54:17 補充

寫完才看到只贈五點，好想哭～～

不過很久沒玩這個，多思考幾種方式、訓練訓練腦袋也不賴

對了，我是化學研究所的學生
參考資料 自己

* 2007-08-28 13:43:54 補充

你這一題有可能被"強制移除"耶！因為你題目和分類差太多了吧！
不過這樣我就很慘了，花了好多時間排版回答，我已經有一題是這樣被移除的！！！

參考資料 內心的聲音